Добро пожаловать, гость
:: алгоритмы  и методы :: :: олимпиадные задачи :: :: связь :: :: о сайте :: :: форум ::

Форум работает в режиме архива, только для чтения и поиска.
Архив 2004 Архив 2007 Архив 2013

 
 
Опции темы Поиск в этой теме Опции просмотра
  #1  
Старый 11.02.2010, 01:18
Новичок

Отправить личное сообщение для midi Посмотреть профиль Найти все сообщения от midi
 
Регистрация: 29.11.2008
Сообщений: 11

Головоломка с линейной алгеброй
Такая задачка: есть линейный оператор, у которого только один собственный вектор. Составить матрицу линейного оператора. Наверное, задачка на какое-нибудь тонкое следствие из определения собственного вектора, однако мне пока не удалось раскопать суть. Помогите, пожалуйста, догадками. Или, если повезёт, вдруг получится наткнуться на одну из таких матриц - выкладывайте, потом будет существенно легче обобщить результат=)
  #2  
Старый 11.02.2010, 14:09
гость

 
Сообщений: n/a

Сообщение от midi Посмотреть сообщение
Такая задачка: есть линейный оператор, у которого только один собственный вектор.
Да не может такого быть. Умножь этот собственный вектор на любое ненулевое число, и получишь еще один, другой вектор, тоже собственные. Таким образом, их бесконечно много.
  #3  
Старый 12.02.2010, 20:21
Новичок

Отправить личное сообщение для midi Посмотреть профиль Найти все сообщения от midi
 
Регистрация: 29.11.2008
Сообщений: 11

Вот смотрите, к чему я пришёл.
Af = лf;
собственный вектор - значит умножение на матрицу имеет эффект умножения на число, это понятно.
Теперь можно сказать, что у каждого линейного оператора есть как минимум один собственный вектор (0,0,0), который можно множить на любые собственные числа. Значит, наша задача - отыскать линейный оператор, который бы не имел собственных векторов вообще, кроме вот этого нулевого.
Опытным путём я наткнулся на несколько матриц, которые удовлетворяли этому требованию:
( 0 1 0 ) ( 0 1 0 ) ( 0 0 0 )
( 1 0 1 ) ( 0 0 0 ) ( 1 0 1 )
( 0 1 0 ), ( 0 1 0 ), ( 0 0 0 )

Это полный бред, или всё-таки можно как-то дотянуть его до решения в общем виде?
  #4  
Старый 13.02.2010, 18:08
Новичок

Отправить личное сообщение для midi Посмотреть профиль Найти все сообщения от midi
 
Регистрация: 29.11.2008
Сообщений: 11

Я ошибался насчет этих матриц. У них есть как минимум одно собственное значение л=0, а значит, и собственные векторы (в первом случае с y=0 и x=-z, во втором с y=0, в третьем - x=-z), и, как правильно заметил гость, таких векторов бесконечное количество. Но мне все равно не до конца понятно, как математически доказать, что таких матриц не бывает вообще?Наверное, для этого нужно доказать, что не существует матриц без собственных значений. Вопрос: как?
 


Опции темы Поиск в этой теме
Поиск в этой теме:

Расширенный поиск
Опции просмотра


Похожие темы
Тема Автор Раздел Ответов Последнее сообщение
Головоломка про ферзей гость Задачи 5 09.04.2008 02:51