Минимальный эллипс по 3 точкам

[prografix]

На плоскости даны 3 точки. Нужно найти эллипс минимальной площади с этими точками на границе. Решение должно быть аналитическим. Все мои попытки приводили к системам нелинейных уравнений, решать которые я не берусь.

[lordKelvin]

Напиши систему уравнений, для начала, может она и окажется решабильной.

[MBo]

Оси эллипса параллельны осям координат или общий случай интересен?

[prografix]

Общий случай.

[prografix]

По поводу систем уравнений. Вот один вариант:
a = y23*cos(f1) + y31*cos(f2) + y12*cos(f3)
b = sin(f2) - sin(f1)
-y23*sin(f1)*b - a*cos(f1) + c*y23*cos(f1) = 0
-y31*sin(f2)*b + a*cos(f2) + c*y31*cos(f2) = 0
sin(f3)*b = c*cos(f3)
y23*sin(f1) + y31*sin(f2) + y12*sin(f2) = 0
здесь a, b, c, f1, f2, f3 - неизвестные.

[prografix]

Я всё-таки решил эту задачу и решение получилось несложным: возьмём произвольное аффинное преобразование, которое отображает исходные точки в вершины равностороннего треугольника, опишем вокруг него окружность, а затем применим к ней обратное преобразование. Таким образом получим эллипс минимальной площади ( это следует из того, что аффинное преобразование сохраняет отношение площадей фигур ).
Из этого также следует, что центр эллипса и центр масс исходных точек совпадают. Поэтому для простоты будем считать, что эти центры находятся в начале координат.
Итак даны 3 точки (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3).
Введём дополнительные переменные:
x12 = x1 - x2
y12 = y1 - y2
x23 = x2 - x3
y23 = y2 - y3
x31 = x3 - x1
y31 = y3 - y1
Эллипс зададим в виде уравнения:
a*x*x - b*x*y + c*y*y = d
Тогда:
a = y12*y12 + y23*y23 + y31*y31 - y31*y12 - y12*y23 - y23*y31
b = 3 * ( y12*x12 + y23*x23 + y31*x31 )
c = x12*x12 + x23*x23 + x31*x31 - x31*x12 - x12*x23 - x23*x31
d = ( y31*x23 - y23*x31 ) ^ 2

Лучше поздно, чем никогда
Вот здесь:
artspb.com/mironovsky/records/images/Invariants_91.doc
лежит простая и доступная всем брошюра об инвариантах.
Ваша задача там в первых рядах.
Л.А. Мироновский ИНВАРИАНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ.

[prografix]

За книгу спасибо. Я её скачал. На досуге почитаю, а сейчас пролистал и эту задачу там не нашёл. Там есть задача о вписании эллипса в параллелограмм. А вот основная идея её решения та же, что и у меня.

Перенос на Ваш случай не так сложен.
Обратите внимание, там есть линк и на ваш сайт и на algolist.